Ecuaciones

 Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. Solucionar una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad.

Tipos de ecuaciones

• Ecuación polinómicas o algebraicas

•  Son aquellas en las que las expresiones algebraicas que intervienen en la ecuación, son polinomios (existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, tales como las expresiones algebraicas racionales y otras).

• • Ecuaciones de primer grado o lineales
  • Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una ecuación algebraica que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
  • Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

  • Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son aquellas en las que la mayor potencia de la incógnita es dos. donde x representa la incógnita y a, b y c son constantes. a es el coeficiente cuadrático. Es fundamental que a sea distinto de 0, ya que sino se trataría de una ecuación de primer grado.
  • Ecuaciones de tercer grado o cúbicas
  • Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica de tercer grado. La forma general de una función cúbica es: f (x) = ax³ + bx² + cx¹ + d. Y la ecuación cúbica tiene la forma de ax³ + bx² + cx + d = 0, donde a, b y c son los coeficientes y d es la constante.
  • Ecuaciones bicuadradas
  • Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado con la siguiente forma: Es decir, son ecuaciones de cuarto grado en las que aparecen, a lo sumo, todos los monomios que tienen la incógnita con exponente par (es decir, x4 , x2 y x0 ).
  • 
    

ALGEBRA

                               TEORIA DE NUMEROS ALGEBRAICOS

La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.

Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es el conjunto de los enteros en dicho campo, es decir, el subconjunto del campo que consta de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros.

Se puede ver, y tratar, a un campo de números algebraico como un análogo de los racionales, y a su anillo de enteros como un análogo de los enteros. Ahora bien, la analogía no es perfecta: algunas de las propiedades familiares de los racionales y los enteros no se conservan, por ejemplo, la factorización única. (La teoría de ideales suple en parte la falta de factorización única.)

Los campos de números algebraicos, así como los campos de funciones, son llamados campos globales. Gran parte de la teoría se puede desarrollar de manera paralela para ambos tipos de objetos. La localización consiste en el pasaje de un campo global a un campo local: en el caso de los campos de funciones, este procedimiento consiste simplemente en dirigir la mirada a un punto en particular de la superficie o variedad estudiada, y concentrarse en cómo las funciones se comportan en su vecindad inmediata.

Operaciones con fracciones algebraicas

                                     Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una expresión en forma de fracción común, es decir, contiene dos expresiones, una debajo de la otra y separadas por una línea. A la expresión superior se le llama numerador y a la expresión inferior denominador. Además de que este último valor debe ser diferente de cero, para el caso de fracciones algebraicas ambas expresiones son polinomios.

Ejemplo:

El comportamiento de las fracciones algebraicas es similar a las fracciones numéricas. Si se multiplica o divide el numerador y el denominador por una misma cantidad, la expresión final no se altera. Sólo hay que tomar en cuenta que la cantidad por la que se divide o multiplica debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si x−3x−1$\frac{x-3}{x-1}$ se multiplica por x+2$x+2$ en su numerador y denominador obtenemos:

(x−3)(x+2)(x−1)(x+2)=x2+2x−3x−6x2+2x−x−2=x2−x−6x2+x−2$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^2+2x-3x-6}{x^2+2x-x-2}=\frac{x^2-x-6}{x^2+x-2}$

Antes de realizar operaciones con fracciones algebraicas debemos fijarnos que los polinomios estén factorizados, es decir, en su mínima expresión. Para simplificar fracciones algebraicas utilizamos los mismo métodos que en las fracciones ordinarias: dividimos el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, es importante saber reconocer factores comunes.